Unghiul dintre o dreaptă și un plan
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Fie o dreaptă d și un plan α. Precizați măsura unghiului dintre dreapta d și planul α în fiecare caz: a) d ⊥ α; b) d ⊂ α; c) d ∥ α. d) Un coleg afirmă că unghiul dintre o dreaptă și un plan poate avea măsura de 120°. Are dreptate? Justificați.
2. Un segment AB, cu lungimea de 18 cm, se proiectează pe un plan α după segmentul A'B'. Calculați lungimea segmentului A'B' în cazurile: a) ∢(AB, α) = 30°; b) ∢(AB, α) = 45°; c) ∢(AB, α) = 60°.
3. O scară cu lungimea de 6 m este sprijinită de peretele vertical al unei case. Piciorul scării se află pe sol, la 3 m de perete. Considerați solul un plan orizontal și scara un segment. Determinați măsura unghiului format de scară cu planul solului. Realizați un desen și scrieți etapele rezolvării.
4. Proiecția segmentului AB pe un plan α este segmentul CD, iar CD = (3/5)·AB. Notăm cu u măsura unghiului dintre dreapta AB și planul α. Calculați cos u, sin u și tg u.
5. Punctul A este exterior planului α, iar O este proiecția lui A pe planul α, cu AO = 6 cm. Din punctul A se construiesc oblicele AB și AC, cu B, C ∈ α, AB = 12 cm și AC = 6√2 cm. a) Precizați proiecțiile segmentelor AB și AC pe planul α. b) Determinați măsurile unghiurilor ∢(AB, α) și ∢(AC, α).
6. În cubul ABCDA'B'C'D', cu muchia de 6 cm, determinați: a) măsura unghiului dintre dreapta AB' și planul (ABC); b) măsura unghiului dintre dreapta A'B' și planul (ABC); c) măsura unghiului dintre dreapta AB și planul (BCC'); d) tangenta unghiului dintre dreapta A'C și planul (ABC).
7. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 6 cm, unde O este centrul pătratului ABCD. Punctul M este mijlocul muchiei BC. a) Determinați măsura unghiului dintre apotema VM și planul (ABC). b) Calculați cosinusul unghiului dintre muchia VA și planul (ABC). c) Justificați că proiecția dreptei VB pe planul (VOM) este dreapta VM, apoi calculați sinusul unghiului dintre VB și planul (VOM).
8. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' se cunosc AB = 4 cm, BC = 3 cm și AA' = 5 cm. a) Determinați lungimea proiecției segmentului BD' pe planul (ABC). b) Determinați măsura unghiului dintre dreapta BD' și planul (ABC). c) Calculați sinusul unghiului dintre dreapta AC' și planul (BCC').