Cercul: definiție, poziția unui punct față de cerc, construcția cercului, cercuri congruente

1. a) Scrieți, cu cuvintele voastre, definiția cercului de centru O și rază r. b) Explicați ce înseamnă notația C(O, 3 cm) și cum se citește. c) Completați: «Dacă M ∈ C(O, r), atunci MO ... r.» și «Dacă PO < r, atunci P ∈ ... C(O, r).»

2. Se consideră cercul C(O, 5 cm) și punctele A, B, C, D, E pentru care OA = 5 cm, OB = 3,2 cm, OC = 7,1 cm, OD = 4,99 cm și OE = 5,01 cm. Precizați poziția fiecărui punct față de cerc (pe cerc, în interiorul cercului sau în exteriorul cercului). Scrieți rezultatul folosind simbolurile ∈, Int C(O, r) și Ext C(O, r) și justificați fiecare răspuns prin compararea distanței cu raza.

3. Punctele A și B aparțin cercului C(O, r). Se știe că OA = (2x + 1) cm și OB = (x + 4) cm. Determinați numărul x și raza r a cercului. Redactați rezolvarea completă.

4. a) Descrieți, pas cu pas, cum construiți cu ajutorul compasului cercul de centru O și rază 3 cm. b) Construiți cercul pe caiet. Marcați un punct A pe cerc, un punct B în interiorul cercului și un punct C în exteriorul cercului. c) Măsurați cu rigla distanțele OA, OB și OC, notați valorile și explicați de ce ele confirmă poziția fiecărui punct.

5. Se dau cercurile C1(O1; 2,5 cm), C2(O2; 25 mm), C3(O3; 0,25 dm) și C4(O4; 2,05 cm). Stabiliți care dintre aceste cercuri sunt congruente între ele. Justificați răspunsul, transformând toate razele în aceeași unitate de măsură.

6. Segmentul AB are lungimea de 10 cm, iar M este mijlocul său. Se consideră cercul C(M, 5 cm). a) Arătați că punctele A și B aparțin cercului. b) Punctul P aparține segmentului AB și AP = 3 cm. Calculați MP și precizați poziția punctului P față de cerc. c) Punctul Q aparține semidreptei opuse semidreptei AB și QA = 2 cm. Calculați QM și precizați poziția punctului Q față de cerc.

7. O capră este legată de un țăruș cu o funie lungă de 6 m. În jurul țărușului se află: o tufă de flori la 4,5 m de țăruș, o găleată cu apă la 6 m de țăruș și un pom la 8 m de țăruș. Modelați situația cu ajutorul unui cerc: precizați ce reprezintă centrul și ce reprezintă raza. Apoi stabiliți la care dintre cele trei obiecte poate ajunge capra și justificați folosind poziția punctelor față de cerc.

8. Se consideră cercul C(O, 7 cm) și un punct P pentru care OP = (3x − 2) cm, unde x este un număr natural. a) Determinați valoarea lui x pentru care P ∈ C(O, 7 cm). b) Determinați toate valorile naturale ale lui x pentru care P ∈ Int C(O, 7 cm). c) Dați un exemplu de valoare a lui x pentru care P ∈ Ext C(O, 7 cm) și justificați.