Condiții ca un patrulater să fie paralelogram
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Pentru fiecare dintre patrulaterele convexe ABCD de mai jos, stabilește dacă putem afirma sigur că este paralelogram. Justifică răspunsul cu proprietatea potrivită sau explică de ce datele nu sunt suficiente. a) AB = 5 cm, BC = 7 cm, CD = 5 cm, DA = 7 cm; b) ∢A = 110°, ∢B = 70°, ∢C = 110°, ∢D = 70°; c) AC ∩ BD = {O}, OA = 3 cm, OC = 3 cm, OB = 4 cm, OD = 5 cm; d) AB || CD și AB = CD = 6 cm.
2. În patrulaterul convex ABCD avem ∢A = (3x + 10)°, ∢C = (5x − 50)°, ∢B = 2y° și ∢D = (y + 40)°. Determină numerele x și y pentru care unghiurile opuse ale patrulaterului sunt congruente. Calculează apoi măsurile celor patru unghiuri și verifică faptul că suma lor este 360°. Ce fel de patrulater este ABCD în acest caz? Justifică.
3. În patrulaterul convex ABCD avem AB = (2x + 3) cm, CD = (x + 7) cm, BC = (3y − 1) cm și AD = (y + 9) cm. Află x și y astfel încât ABCD să fie paralelogram, folosind condiția referitoare la laturile opuse. Calculează apoi perimetrul paralelogramului obținut.
4. Diagonalele patrulaterului convex ABCD se intersectează în punctul O. Se știe că AO = (x + 2) cm, OC = (2x − 3) cm, BO = 3y cm și OD = (y + 8) cm. Determină x și y astfel încât ABCD să fie paralelogram, apoi calculează lungimile diagonalelor AC și BD. Precizează ce reprezintă punctul O pentru paralelogramul ABCD.
5. Fie paralelogramul ABCD, iar M și N puncte pe diagonala BD, astfel încât BM = DN și M se află între B și N. Scrie ipoteza și concluzia, apoi demonstrează că patrulaterul AMCN este paralelogram. (Indicație: folosește mijlocul diagonalelor.)
6. În paralelogramul ABCD, punctul M este mijlocul laturii AB, iar punctul N este mijlocul laturii CD. a) Demonstrează că patrulaterul AMCN este paralelogram, folosind teorema: „Un patrulater convex este paralelogram dacă și numai dacă două laturi opuse ale lui sunt paralele și congruente.” b) Demonstrează că și patrulaterul MBCN este paralelogram.
7. Andrei afirmă: „Dacă un patrulater convex ABCD are AB || CD și AD ≡ BC, atunci ABCD este sigur paralelogram.” Are dreptate Andrei? Justifică răspunsul. Dacă afirmația este falsă, dă un contraexemplu și descrie-l printr-un desen sau în cuvinte. Apoi modifică o singură condiție din enunț, astfel încât afirmația să devină adevărată.
8. O lampă de birou are un braț articulat format din patru bare prinse în articulațiile A, B, C și D. Barele AB și CD au fiecare 40 cm, iar barele BC și DA au fiecare 25 cm. Patrulaterul ABCD rămâne convex în orice poziție a lampii. a) Explică de ce, oricum am deschide brațul, bara AB rămâne paralelă cu bara CD. b) Într-o anumită poziție, ∢ABC = 65°. Calculează măsurile celorlalte unghiuri ale patrulaterului ABCD.